preloader
۰۲۱-۲۲۶۹۱۰۱۰ مرکز مشاوره پرواز / پشتیبانی فروشگاه اینترنتی: ۰۹۱۲۸۵۰۱۰۲۹
Select Page
انتگرال

انتگرال

انتگرال (به انگلیسی: Integral) مقدار مشترک ممکن زیرینهٔ مجموعه‌ای ریمانی و زبرینهٔ مجموعه‌ای ریمانی یک تابع حقیقی در بازهٔ مفروض است. انتگرال از مفاهیم اساسی در ریاضیات است که در کنار مشتق دو عملگر اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال را تشکیل می‌دهند.

نخستین بار لایب نیتس نماد استانداردی برای انتگرال معرفی کرد.

\int _{{a}}^{{b}}f(x)\,dx

 a و  b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و  f(x) تابعی انتگرال‌پذیر است و  dx نمادی برای متغیر انتگرال‌گیری است.

از لحاظ تاریخی  dx یک کمیت بی‌نهایت کوچک را نشان می‌دهد. هر چند در تئوری‌های جدید، انتگرال‌گیری بر پایه متفاوتی پایه‌گذاری شده‌است.

 

انتگرال نامعین

تعریف: هرگاه معادله دیفرانسیل تابعی معلوم باشد و بخواهیم معادله اصلی تابع را معلوم کنیم این عمل را انتگرال نامعین نامیده و آن را با نماد  \int نمایش می‌دهند. به انتگرال نامعین ضد مشتق نیز گفته می‌شود، زیرا عمل انتگرال نامعین گرفتن دقیقاً برعکس عملیات مشتق‌گیری است. بنا به تعریف، نماد \int {f(x)}.dx را انتگرال نامعین نامیده و حاصل آن را تابعی مانند F(x)+c در نظر می‌گیریم هرگاه داشته باشیم:

 \int {f(x)}.dx=F(x)+c

در واقع می‌توان چنین بیان کرد:

 F'(x)=f(x)\Leftrightarrow \int {f(x)}.dx=F(x)+c

 

 

مثال: مقدار انتگرال تابع f(x)={\sqrt {x}}+2x^{2}-8 را حساب کنید:

 {\displaystyle \int {f(x)}.dx=\int {(x^{\frac {1}{2}}+2x^{2}-8)}.dx=\int {x^{\frac {1}{2}}}.dx+2\int {x^{2}}.dx-8\int {dx}={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\frac {2}{3}}x^{3}-8x+C}

 \Rightarrow \int {f(x)}.dx={\frac {2}{3}}x{\sqrt {x}}+{\frac {2}{3}}x^{3}-8x+C

انتگرال معین

نوشتار اصلی: پاد مشتق

بنا به تعریف، نماد \int _{a}^{b}f(x).dx را انتگرال معین نامیده و حاصل آن را به ازای a<x<b عددی به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

\int _{a}^{b}f(x).dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)

 a و b به ترتیب، کرانهای بالا و پایین انتگرال نامیده می‌شوند.

 

تابع انتگرال‌پذیر

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال‌پذیر گویند.

تعبیر هندسی انتگرال

از نظر هندسی انتگرال برابر است با مساحت سطح محصور زیر نمودار.

نکته انتگرال نمودار سه بعدی(انتگرال دوگانه) معرف حجم محصور زیر نمودار است و انتگرال سه‌گانه معرف پارالل زیر نمودار است (غیرقابل تصور).

مثال

انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (۰٬۱۰) در واقع پیدا کردن مساحت محصور بین خطوط x=0 , x=۱۰ و خم منحنی f x {\displaystyle f_{x}} f_{x} است. aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

Integral.svg

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.

 

انتگرال گیری

(محاسبه انتگرال) انتگرال گیری به معنی محاسبه سطح زیر نمودار با استفاده از روشها وقوانین انتگرال گیری است(انتگرال معین). انتگرال را می‌توان عمل برعکس مشتق معرفی نمود(انتگرال نامعین)

مهم‌ترین تعاریف در انتگرال

Riemann integral approximation example
Integral example with irregular partitions (largest marked in red)
Riemann sum convergence
Riemann sums converging

از مهم‌ترین تعاریف در انتگرال می‌توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبگ است. انتگرال ریمان به‌وسیله برنهارد ریمان در سال ۱۸۵۴ ارائه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می‌داد تعریف دیگر را هنری لبگ ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می‌کرد. از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال می‌توان به انتگرال ریمان–استیلتیس اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زیر از مهم‌ترین تعاریف انتگرال می‌باشند:

محاسبه انتگرال

Integral approximation example

Approximations to integral of √x from 0 to 1, with 5 ■  (yellow) right endpoint partitions and 12 ■  (green) left endpoint partitions

اکثر روش‌های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم:

۱٫f تابعی در بازه (a,b) در نظر می‌گیریم. ۲. پاد مشتق f را پیدا می‌کنیم که تابعی است مانند f که و داریم: ۳. قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می‌گیریم:

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارت‌اند از:

  • انتگرال گیری به‌وسیله تغییر متغیر
  • انتگرال گیری جزء به جزء: \int u\,dv=uv-\int v\,du
  • انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی
  • انتگرال گیری به‌وسیله تجزیه کسرها

روش‌هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می‌رود همچنین می‌توان بعضی از انتگرال‌ها با ترفندهایی حل کرد برای مثال می‌توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید.

تقریب انتگرالهای معین

محاسبه سطح زیر نمودار به‌وسیله مستطیل‌هایی زیر نمودار. هر چه قدرعرض مستطیل‌ها کوچک می‌شوندمقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست می‌آید.

انتگرال‌هایی معین ممکن است با استفاده از روش‌های انتگرال گیری عددی، تخمین زده شوند. یکی از عمومی‌ترین روش‌ها، روش مستطیلی نامیده می‌شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. از دیگر روش‌هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه‌ای است. اگر چه روش‌های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی‌دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می‌کند.

کاربرد

انتگرال‌ها در واقع مساحت محصور در زیر نمودار هستند و در فیزیک می‌توان برای کاربردهای زیادی تعریف کرد مانند کار انجام شده در یک فر آیند ترمودینامیکی از انتگرال رابطه فشار و حجم به دست می‌آید. اما به طور کلی می‌توان آن را تغییرات کمیت حاصل ضرب افقی و عمودی نمودار نامیدمثلا: در یک رابطه کمیت‌ها را تحلیل ابعادی می‌کنیم مثلاً رابطه سرعت و زمان را به صورت زیر نوشته می‌شود:

 {\displaystyle v=[L]/[T]t=[T]\!}

سپس دو تحلیل را در هم ضرب می‌کنیم:

[L]\!

پس مساحت محصور در زیر نمودار برابر با تغییرات طول (جابجایی) است.

قسمتی از تدریس استادخلیلی درمحصول مشتق,کاربرد مشتق,مجانب و انتگرال:

اگر فیلم بالا را به صورت آنلاین نمی توانید نگاه کنید نرم افزار adobe flash را از اینجا دانلود و بر روی کامپیوترتان نصب نمایید تا از این به بعد فیلم ها را به صورت آنلاین تماشا کنید

و یا اگر می خواهید این فیلم آموزشی را دانلود کنید و همیشه آن را بر روی کامپیوترتان داشته باشید اینجا کلیک نمایید.

 

برای تسلط بیشتر روی مبحث انتگرال به شما عزیزان فیلم های آموزشی زیر را توصیه می کنیم:

 

 

 

 

 

مشتق گیری

مشتق گیری

مشتق تابع

اگر  {\displaystyle (x,f(x))\!} نقطه‌ای از نمودار تابع {\displaystyle y=f(x)\!} و {\displaystyle (x+h,f(x+h))\!} نقطهٔ دیگری از این نمودار باشد، آنگاه  {\displaystyle \Delta f(x)=f(x+h)-f(x)\!} و شیب خط قاطع عبارت است از:

 {\displaystyle m={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\!}

کسر فوق، خارج قسمت تفاضلی {\displaystyle f\!} در x\! نامیده می‌شود. اگر x\! ثابت نگه داشته شود و  {\displaystyle h\!} به سمت صفر میل کند، آنگاه خارج قسمت تفاضلی {\displaystyle f\!} در x\! اگر فقط به x\! بستگی داشته باشد به مقداری میل می‌کند که به آن شیب خط مماس گفته می‌شود. به عبارت دیگر، حاصل حد زیر در صورت وجود ضریب زاویهٔ خط مماس نمودار تابع{\displaystyle f\!} در x\! را بدست می‌دهد:

 {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}

 

تعریف مشتق تابع

برای تابع{\displaystyle f\!} که در همسایگی نقطهٔ  a\! تعریف شده‌است، اگر  {\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}} وجود داشته باشد، {\displaystyle f\!} در  a\! مشتق‌پذیر است. این حد یکتا را با {\displaystyle f'(a)\!} نمایش داده و آن را مشتق تابع  {\displaystyle f\!} در نقطهٔ  a\! می‌نامند.

بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات مربوط به متغیر مستقل به سمت صفر میل می‌کند.

با تبدیل  {\displaystyle h\!} به {\displaystyle x-a\!} تعریف دوم مشتق به صورت زیر حاصل می‌شود:

 {\displaystyle f'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}}

نمادهای مشتق

لایبنیتس، نیوتون، لاگرانژ، آربوگاست و اویلر هر یک نماد جداگانه‌ای را برای نمایش مشتق بکار می‌بردند؛ اما در میان پیشگامان اولیهٔ آنالیز ریاضی، لایبنیتس بیش از هر کس دیگری به اهمیت علامات مناسب پی برده بود. او علامات را با حوصلهٔ زیادی آزمایش می‌کرد و با سایر ریاضی‌دانان مکاتبات بسیاری داشت و از این طریق معایب و محاسن نمادهای مختلف را برای آن‌ها مطرح می‌ساخت. پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال و گسترش ریاضیات نوین تا حدود زیادی بواسطهٔ علامت‌های پیشرفته‌ای است که بسیاری از آن‌ها توسط لایبنیتس ابداع شده‌اند.

لایبنیتس در سال ۱۶۷۵ میلادی با استفاده از عملگر تفاضلی {\displaystyle \Delta \!} خارج قسمت تفاضلی {\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} را به شکل } {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}} نوشت و برای مشتق تابع {\displaystyle f\!} در x\! نماد {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\!} را معرفی کرد که به صورت{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}f(x)} نیز نوشته می‌شود. این نماد که نمایش دیفرانسیلی مشتق نامیده می‌شود، برای نمایش مشتق مراتب بالاتر به شکل {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{n}}{\operatorname {d} x^{n}}}f(x)} نوشته می‌شود. با استفاده از این نماد تعریف مشتق به صورت {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\!} در می‌آید.

نیوتون برای نشان دادن مشتق اول از {\displaystyle {\dot {y}}\!} و برای مشتق دوم از {\displaystyle {\ddot {y}}\!} استفاده می‌کرد. نمادهای نقطه‌دار نیوتون در برخی مسائل فیزیکی مانند سرعت و شتاب بکار می‌روند.

مشتق تابع  {\displaystyle f\!} را با {\displaystyle f'\!} نیز می‌توان نشان داد. این نماد بر آن تأکید دارد که {\displaystyle f'\!} تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از تابع  {\displaystyle f\!} بدست آمده‌است و مقدارش در x\! با  {\displaystyle f'(x)\!} نموده می‌شود. مختصات  x\! و  {\displaystyle y\!} واقع بر نمودار {\displaystyle f\!} با معادلهٔ  {\displaystyle y=f(x)\!} به هم مربوط می‌شوند، و علامت {\displaystyle y'\!} نیز برای نمایش {\displaystyle f'(x)\!} بکار می‌رود که مقدارش در  x\! به صورت {\displaystyle y'_{x}\!} نوشته می‌شود. این نماد در سال ۱۷۷۰ میلادی توسط ژوزف لویی لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفت و مشتق مراتب بالاتر را به صورت {\displaystyle f'\!} (مشتق اول)، {\displaystyle f''\!} (مشتق دوم)، {\displaystyle f'''\!} (مشتق سوم)، {\displaystyle f^{(4)}\!} (مشتق چهارم){\displaystyle f^{(n)}\!} (مشتق n \!ام) نشان می‌دهد.

در سال ۱۸۰۰ میلادی نماد دیگری توسط لوییس آربوگاست معرفی شد و توسط لئونارد اویلر مورد استفاده قرار گرفت. این نماد مشتق {\displaystyle f\!} را به شکل {\displaystyle \operatorname {D} f\!} نشان می‌دهد. علامت  {\displaystyle \operatorname {D} \!} یک عملگر دیفرانسیلی است و این فکر را القا می‌کند که{\displaystyle \operatorname {D} f\!} تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از{\displaystyle f\!} بدست آمده‌است. مشتق مراتب بالاتر به صورت {\displaystyle \operatorname {D} ^{n}f\!} و مقدار آن در x\! به صورت  {\displaystyle \operatorname {D} ^{n}f(x)\!} نوشته می‌شود.

 

مشتق‌های یک طرفه

مشتق راست: اگر تابع {\displaystyle f\!} در فاصلهٔ {\displaystyle [a,b)\!} تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد زیر، در صورت وجود، مشتق راست تابع در  {\displaystyle x=a\!} می‌باشد:

{\displaystyle f'_{+}(a)=\lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}

مشتق چپ: اگر تابع{\displaystyle f\!} در فاصلهٔ  {\displaystyle (c,a]\!} تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد، زیر در صورت وجود، مشتق چپ تابع در {\displaystyle x=a\!} می‌باشد:

{\displaystyle f'_{-}(a)=\lim _{x\to a^{-}}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}

 

مشتق‌پذیری

تابع  {\displaystyle f\!} در {\displaystyle x=a\!} مشتق‌پذیر است هرگاه در این نقطه پیوسته باشد و مشتق چپ و راست تابع با هم برابر و مساوی یک عدد حقیقی معین باشد.

تعبیر هندسی مشتق‌پذیری: تابع {\displaystyle f\!} در  {\displaystyle x=a\!} مشتق‌پذیر است هرگاه بتوان در این نقطه یک خط کامل مماس و غیر موازی با محور yها بر منحنی رسم کرد.

اگر تابع {\displaystyle f\!} در نقطهٔ a\! مشتق‌پذیر باشد، آنگاه در آن نقطه پیوسته نیز هست.

ولی عکس قضیهٔ فوق صحیح نمی‌باشد یعنی ممکن است تابع پیوسته باشد اما مشتق‌پذیر نباشد؛ به عبارت دیگر، پیوستگی تابع در {\displaystyle x=a\!} شرط لازم برای مشتق‌پذیری تابع است، نه شرط کافی. پس اگر تابع{\displaystyle f\!} در  a\! ناپیوسته باشد، آنگاه در a\! مشتق‌پذیر نیست.

موارد مشتق‌ناپذیری

مواردی که تابع در نقطهٔ مفروض a\! مشتق‌پذیر نیست:

  1. نقاط ناپیوسته: تابع در نقاط ناپیوسته مشتق‌ناپذیر است و از دید هندسی نمی‌توان در این نقاط مماس بر منحنی رسم کرد.
  2. نقاط زاویه‌دار: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها دو عدد حقیقی نابرابر، یا یکی عدد و دیگری بی‌نهایت باشد، مشتق‌پذیر نیست. از دید هندسی، در این نقاط دو نیم‌مماس بر منحنی رسم می‌شود که با هم زاویه می‌سازند.
  3. نقاط عطف قائم: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها بی‌نهایت‌های هم‌علامت باشد مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط می‌توان یک خط کامل مماس به موازات محور yها رسم کرد. نقطهٔ عطف قائم تنها نقطه‌ای است که تابع در آن مشتق‌پذیر نیست ولی مماس کامل دارد.
  4. نقاط بازگشت: تابع در نقاط پیوسته‌ای که مشتق چپ و راست در آن‌ها بی‌نهایت‌های غیر هم‌علامت باشد مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط می‌توان یک نیم‌مماس، به موازات محور yها رسم کرد.
  5. تابع در نقاطی که پیوسته‌اند ولی مشتق در آن‌ها به سمت عدد مشخصی میل نمی‌کند نیز مشتق‌ناپذیر است. از دید هندسی، در این نقاط نمی‌توان مماس مشخصی بر منحنی رسم کرد.

 

دامنهٔ تابع مشتق

منظور از دامنهٔ تابع مشتق مجموعهٔ نقاطی است که تابع در آن‌ها مشتق‌پذیر است. به طور کلی برای تابع{\displaystyle f\!} داریم:

 {\displaystyle \}\!} مجموعه نقاطی که {\displaystyle f'\!} در آن تعریف نشده است {\displaystyle D_{f'}=D_{f}-\{\!}

مشتق تابع نسبت به تابع

هرگاه بخواهیم مشتق یک تابع مانند  {\displaystyle f\!} را نسبت به تابع دیگری مانند {\displaystyle g\!} بدست آوریم، کافی است مشتق این توابع را نسبت به متغیرشان محاسبه نموده و سپس برهم تقسیم کنیم.

{\displaystyle f'_{g}={\cfrac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} g}}={\cfrac {\cfrac {\operatorname {d} f}{\operatorname {d} x}}{\cfrac {\operatorname {d} g}{\operatorname {d} x}}}={\cfrac {f'_{x}}{g'_{x}}}}

مشتق توابع پارامتری

نوشتار اصلی: مشتق پارامتری

توابع که به فرم {\displaystyle {\begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}}} هستند را توابع پارامتری می‌نامند. در این حالت، مشتق {\displaystyle y\!} نسبت به  x\! از رابطهٔ زیر قابل محاسبه است:

 {\displaystyle y'_{x}={\cfrac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\cfrac {\cfrac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}{\cfrac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}}={\cfrac {y'_{t}}{x'_{t}}}={\cfrac {g'(t)}{f'(t)}}}

 

مشتق تابع مرکب

نوشتار اصلی: قاعده زنجیری

اگر تابع  {\displaystyle g\!} در نقطهٔ a\! و تابع {\displaystyle f\!} در  {\displaystyle g(a)\!} مشتق‌پذیر باشد، آنگاه تابع {\displaystyle f\circ g\!} نیز در  a\! مشتق‌پذیر است و داریم:

 {\displaystyle (f\circ g)'(a)=\left(f(g(a))\right)'=g'(a)f'(g(a))\!}

به بیان دیگر، هرگاه  {\displaystyle y\!} تابعی از {\displaystyle u\!} و {\displaystyle u\!} تابعی از  x\! باشد، برای بدست آوردن مشتق {\displaystyle y\!} نسبت به x\!، مشتق {\displaystyle y\!} نسبت به {\displaystyle u\!} را در مشتق {\displaystyle u\!} نسبت به x\! ضرب می‌کنیم.

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} u}}\cdot {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}}

همچنین به شکل دیگری برای توابع  {\displaystyle f\!} {\displaystyle y\!} و  {\displaystyle u\!} داریم:

 {\displaystyle y=f(u)\;\Rightarrow \;y'=u'\,f'(u)}

مشتق توابع زوج و فرد

مشتق هر تابع زوج، تابعی فرد است و مشتق هر تابع فرد، تابعی زوج است.

اگر {\displaystyle f\!} تابعی زوج و  {\displaystyle f'(a)\!} موجود نباشد ولی {\displaystyle f'_{+}(a)\!} و {\displaystyle f'_{-}(a)\!} موجود باشند آنگاه خواهیم داشت:

 {\displaystyle {\begin{cases}f'_{+}(a)=-f'_{-}(-a)\\f'_{-}(a)=-f'_{+}(-a)\end{cases}}}

اگر  {\displaystyle f\!} تابعی فرد و {\displaystyle f'(a)\!} موجود نباشد ولی {\displaystyle f'_{+}(a)\!} و  {\displaystyle f'_{-}(a)\!} موجود باشند آنگاه خواهیم داشت:

 {\displaystyle {\begin{cases}f'_{+}(a)=f'_{-}(-a)\\f'_{-}(a)=f'_{+}(-a)\end{cases}}}

پادمشتق

اگر {\displaystyle f\!} تابعی پیوسته در بازهٔ{\displaystyle I\!} شامل نقطهٔ a\! باشد، آنگاه تابع {\displaystyle F\!} با دامنهٔ {\displaystyle I\!} و با ضابطهٔ:

 {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt}

تابع اولیه یا پادمشتق تابع {\displaystyle f\!} نامیده می‌شود. تابع {\displaystyle F\!} روی  {\displaystyle I\!} مشتق‌پذیر است و برای هر{\displaystyle x\in I\!} داریم:

{\displaystyle F'(x)=f(x)\!}

{\displaystyle u(x)=\int _{g(x)}^{h(x)}f(t)\,dt} آنگاه مشتق تابع  {\displaystyle u\!} از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

 {\displaystyle u'(x)=h'(x)f(h(x))-g'(x)f(g(x))\!}

 

قسمتی از تدریس استاد آریان حیدری در محصول مشتق ۲:

اگر فیلم بالا را به صورت آنلاین نمی توانید نگاه کنید نرم افزار adobe flash را از اینجا دانلود و بر روی کامپیوترتان نصب نمایید تا از این به بعد فیلم ها را به صورت آنلاین تماشا کنید

و یا اگر می خواهید این فیلم آموزشی را دانلود کنید و همیشه آن را بر روی کامپیوترتان داشته باشید اینجا کلیک نمایید.

 

برای تسلط بیشتر روی مبحث مشتق گیری به شما عزیزان فیلم آموزشی زیر را توصیه می کنیم:

 

 

 

 

دنباله

دنباله

تعریف دنباله

دنباله (sequence)، تابعی است که دامنه آن مجموعه اعداد طبیعی یا قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد.

 {\displaystyle f:\mathbb {N} \to A}

اگر دامنه دنباله قطعه‌ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد، دنباله را متناهی می‌گوییم و اگر دامنه دنباله خود مجموعه اعداد طبیعی یا زیرمجموعه‌ای نامتناهی از آن باشد، دنباله را نامتناهی می‌گوییم.

به عنوان مثال دنباله اعداد طبیعی زوج کوچک‌تر مساوی ۱۰ یک دنباله متناهی است چرا که دامنه آن قطعه‌ای از مجموعه اعداد طبیعی یعنی

{\displaystyle \mathbb {N} _{1}0=\{2,4,6,8,10\}}

است و دنباله اعداد زوج دنباله‌ای نامتناهی است چرا که دامنه آن خود مجموعه اعداد طبیعی است.

برای مشخص کردن یک دنباله مانند هر تابع دیگر، باید دامنه و ضابطه آن را مشخص کرد. ضابطه یک دنباله را در اصطلاح جمله عمومی آن دنباله می‌گوییم. اگر f یک دنباله باشد جمله عمومی آن را با {(f(n} و یا به صورتی معمول‌تر به صورت {fn} نشان می‌دهیم.

به عنوان مثال دنباله اعداد طبیعی زوج را به این صورت

 {\displaystyle \{f_{n}\}=\{2n\}}

نشان می‌دهیم. همچنین برای نمایش مقدار دنباله f به ازای عدد طبیعی از نماد (f(n و یا معمولاً از نماد fn استفاده می‌کنیم.

به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج داریم:

{\displaystyle f_{1}=2,f_{2}=4,...,f_{n}=2n}

 

مفهوم دنباله

مجموعه اعداد زوج طبیعی را در نظر بگیرید:

 {\displaystyle \mathbb {N} _{e}=\{2,4,6,8,...,2n,...\}}

اولین عضو این مجموعه عدد ۲ است و n امین عضو آن ۲n است.

حال مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید:

 {\displaystyle \mathbb {N}=\{1,2,3,4,5,...,n,...\}}

با کمی دقت متوجه می‌شویم که می‌توان یک تابع از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج تعریف نمود که هر عضو از مجموعه اعداد طبیعی را به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر کند.

به عبارت دقیقتر می‌توان تابع{\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} _{e}} را با ضابطه {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :f(n)=2n} تعریف کرد. اگر این تناظر را به صورت مجموعه زوج‌های مرتب بنویسیم خواهیم داشت:

{\displaystyle f=\{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),...,(n,2n),...\}}

متوجه می‌شویم تابع f از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج، و هر عضو از دامنه خود را دو برابر می‌کند و به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر می‌کند.

حال در مثالی دیگر تابع  {\displaystyle g(x)=(x-3)^{2}+1} را در نظر بگیرید. بیاید بجای اینکه به جای متغیر تابع عددی حقیقی قرار دهیم، متغیرهای طبیعی را جایگزین کنیم. در این صورت داریم:

 {\displaystyle g(1)=5,g(2)=2,g(3)=1,g(4)=2,...}

مشاهده می‌کنید این تابع نیز هر عدد طبیعی را به عنوان متغیر دریافت می‌کند و آن را به یک عدد دیگر نسبت می‌دهد.

نمونه‌های دیگری نیز از این توابع وجود دارد مثلاً توابع  {\displaystyle f(n)={\sqrt {n}}}، که در آنها n عددی طبیعی است.

به چنین توابعی که از از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر تعریف می‌شوند دنباله می‌گوییم.

در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد ۲ از برد تابع را جمله اول، عدد ۴ را جمله دوم و به همین ترتیب عدد ۲n را جمله n ام دنباله می‌گوییم. همین شیوه برای سایر دنباله‌ها نیز اعمال می‌شود.

به عبارت دقیق تر اگر (f(n ضابطه یک دنباله باشد جمله k ام این دنباله را (f(k تعریف می‌کنیم.

در یک دنباله، اعداد طبیعی در دامنه به گونه‌ای به اعضای برد متناظر می‌شوند که عدد طبیعی متناظر شده بیانگر شماره آن جمله در برد باشد.

به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد ۱ در دامنه به عدد ۲در برد که اولین جمله دنباله‌است متناظر می‌شود و عدد ۱۰ از دامنه به عدد ۲۰ از برد که جمله دهم است متناظر می‌شود و به همین ترتیب عدد n در دامنه به عدد ۲n از برد که جمله n ام است متناظر می‌شود.

دنباله حقیقی

دنباله {fn} را دنباله حقیقی می‌گویند هرگاه تابعی از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی باشد.

به عنوان مثال دنباله

{\displaystyle \{a_{n}\}=\{{\frac {n+3}{2n-1}}\}}

دنباله‌ای حقیقی است چرا که برد آن از مجموعه اعداد حقیقی است.

  • لازم به توضیح است معمولاً منظور از دنباله، دنباله‌ای حقیقی است.

 

نمودار یک دنباله

از آنجا که دنباله یک تابع با دامنه اعداد طبیعی است می‌توان دنباله را به‌وسیله نمودار نیز نمایش داد. این نمایش با دو روش انجام می‌شود. در یک روش می‌توان مانند توابع دیگر آن را در دستگاه مختصات دکارتی رسم کرد و در روشی دیگر می‌توان جملات آن را به همراه ذکر شماره آن جمله روی محور اعداد نشان داد. با ذکر یک مثال دو روش را توضیح می‌دهیم.

به عنوان مثال می‌خواهیم دنباله اعداد زوج را به هر دو روش نشان دهیم:

به‌وسیله رسم نمودار در دستگاه مختصات دکارتی
برای این منظور محور افقی را برای متغیر انتخاب کرده و محور عمودی را برای نمایش تغییرات جملات دنباله استفاده می‌کنیم.
به‌وسیله رسم نمودار روی محور اعداد
برای این منظور روی محور اعداد مقدار جملات دنباله را یافته و شماره جمله را در بالا آن می‌نویسیم.

جمله عمومی یک دنباله

همانطور که گفته شد یک دنباله تابعی با دامنه مجموعه اعداد طبیعی است پس برای دنباله‌ها در حالت کلی می‌توان ضابطه تعیین کرد که به ضابطه یک دنباله جمله عمومی آن دنباله می‌گویند.

جمله عمومی یک دنباله به منزله یک قانون است که به‌وسیله آن هر عضو از دامنه(مجموعه اعداد طبیعی) به یک عضو از مجموعه برد متناظر می‌شود و به ازای هر مقدار از متغیر n، جملات دنباله را تولید می‌کند.

به عنوان مثال جمله عمومی دنباله اعداد طبیعی زوج به صورت {۲n} است که همانند ضابطه تابع به‌وسیله آن می‌توان با قرار دادن هر n طبیعی جمله n ام دنباله را بدست آورد.

البته لازم به ذکر است جمله عمومی همه دنباله‌ها را نمی‌توان تعیین کرد.

به عنوان مثال تا کنون جمله عمومی برای دنباله اعداد اول تعیین نشده‌است. همچنین ممکن است یک سری از اعداد را به عنوان جملات دنباله انتخاب نمود که نتوان میان آنها رابطه‌ای برقرار نمود و جمله عمومی برای آنها نوشت. حال ممکن است این سؤال پیش بیاید که آیا با در اختیار داشتن جملات یک دنباله می‌توان جمله عمومی آن را تعیین کرد؟

پاسخ را با یک مثال بررسی می‌کنیم. دنباله زیر را در نظر بگیرید:

 {\displaystyle \{t_{n}\}=\{3,5,7,...\}}

می‌خواهیم جمله عمومی این دنباله را با توجه به جملاتش تعیین کنیم. با مشاهدهٔ جملات ممکن است حدس شما این باشد که این دنباله، دنباله اعداد طبیعی فرد بزرگ‌تر از یک است و جمله عمومی آن را می‌توان به این صورت نوشت:

 {\displaystyle \{t_{n}\}=\{2n+1\}}

اما این ممکن است یک جمله عمومی برای این دنباله باشد. ممکن است جملات دنباله در ادامه به این روال پیش نروند و جمله چهارم این دنباله عددی چون ۹ نباشد!

چرا که ما از جمله سوم به بعد دنباله هیچ اطلاعی نداریم و هر عدد دیگری نیز می‌تواند باشد!

به عنوان مثال جمله عمومی دنباله فوق را می‌توان به این صورت نوشت:

{\displaystyle \{a_{n}\}=\{(n-1)(n-2)(n-3)+2n+1\}}

با نوشتن جملات این دنباله داریم:

 {\displaystyle \{a_{n}\}=\{3,5,7,15,...\}}

مشاهده می‌کنید جملات این دنباله تا جمله سوم همانند دنباله {tn} است ولی از جمله سوم به بعد مانند آن دنباله عمل نمی‌کند.

پس همواره از روی جملات یک دنباله نمی‌توان جمله عمومی آن را به درستی تعیین کرد. اما معمولاً برای نوشتن جمله عمومی یک دنباله با توجه به جملات آن، ساده‌ترین حالت را در نظر می‌گیریم. لذا جمله عمومی

 {\displaystyle \{t_{n}\}=\{2n+1\}}

برای این دنباله و زودتر به ذهن خطور می‌کند.

 

رابطه بازگشتی و دنباله بازگشتی

به دنباله اعداد زوج دقت کنید:… ,۲,۴,۶,۸,۱۰,۱۲

با کمی دقت در می‌یابید که برای بدست آوردن هر جمله کافی است جمله قبل را با عدد دو جمع کنید. به عنوان مثال برای بدست آوردن جمله پنجم(۱۰) کافی است جمله چهارم(۸) را با عدد دو جمع کنید. به این رابطه که بین جملات این دنباله برقرار است رابطه بازگشتی می‌گوییم.

تعریف
در بسیاری از دنباله‌ها بین هر جمله و جملات ماقبل یک رابطه‌ای وجود دارد که به‌وسیله آن می‌توان جملات بعدی را تعیین نمود. به چنین رابطه‌ای، رابطه بازگشتی می‌گوییم و به دنباله‌هایی با این رابطه، دنباله بازگشتی می‌گوییم.

از معروف‌ترین این دنباله‌ها می‌توان به دنباله فیبوناتچی و دنباله لوکا اشاره کرد.

به عنوان مثال دنباله فیبوناتچی دارای چنین رابطه‌ای است که به‌وسیله آن مشخص می‌شود:

 {\displaystyle F_{1}=F_{2}=1,\forall n>2:F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}

که جملات آن به این صورت است:… ,۱,۱,۲,۳,۵,۸,۱۳,۲۱

مشاهده می‌شود برای بدست آوردن هر جمله از جمله دوم به بعد کافی است دو جمله ماقبل آن جمله را با هم جمع کنیم. مثلاً برای محاسبه جمله نهم داریم:

 {\displaystyle F_{9}=F_{8}+F_{7}=21+13=34}

یکنوایی دنباله‌ها

دنباله {an} را:

  • صعودی (نا نزولی) می‌گوییم هرگاه
 {\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq ...}

یا به عبارت دیگر برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

 {\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}}

همچنین اگر جملات دنباله همگی مثبت باشند صعودی بودن دنباله را می‌توان با شرط زیر بیان کرد:

 {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geq 1}
  • نزولی(ناصعودی) گوییم هرگاه
 {\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq ...}

یا به عبارت دیگر برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

 {\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}

همچنین اگر جملات دنباله همگی مثبت باشند نزولی بودن دنباله را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:

 {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq 1}

دنباله صعودی یا نزولی را یکنوا می‌گوییم.

همچنین دنباله {an} را اکیداً صعودی می‌گوییم هرگاه برای هر عدد طبیعی n داشته باشیم

 {\displaystyle a_{n+1}>a_{n}}

و دنباله را اکیداً نزولی می‌گوییم هرگاه

{\displaystyle a_{n+1}<a_{n}}

یک دنباله را اکیداً یکنوا می‌گوییم هرگاه اکیداً صعودی یا نزولی باشد.

حد دنباله

از آنجا که دنباله نیز تابع می‌باشد می‌توان حد آن را نیز بررسی کرد که برای اطلاع از نحوه تعریف حد دنباله‌ها و محاسبه آنها می‌توانید به مقاله حد دنباله رجوع کنید.

دنباله ی کشی

دنباله ای را کشی نامیم که حد فاصله ی نقاط آن پس از یک عنصر خاص دنباله به صفر میل کند. به بیان ریاضی: به ازای هر عدد مثبت حقیقی r ، وجود داشته باشد عدد طبیعی N به طوری که به ازای هر m و n طبیعی بزرگتر از N، فاصله عضو nم و mم دنباله کوچکتر از r باشد.

 

قسمتی از تدریس استاد علیزاده در محصول حد و دنباله:

اگر فیلم بالا را به صورت آنلاین نمی توانید نگاه کنید نرم افزار adobe flash را از اینجا دانلود و بر روی کامپیوترتان نصب نمایید تا از این به بعد فیلم ها را به صورت آنلاین تماشا کنید

و یا اگر می خواهید این فیلم آموزشی را دانلود کنید و همیشه آن را بر روی کامپیوترتان داشته باشید اینجا کلیک نمایید.

 

برای تسلط بیشتر روی مبحث دنباله به شما عزیزان فیلم های آموزشی زیر را توصیه می کنیم:

 

 

 

 

 

 

 

 

لگاریتـم

لگاریتـم

لُگاریتم یک عدد در یک پایه، برابر با توانی از پایه‌است که آن عدد را می‌دهد. برای نمونه لگاریتم ۱۰۰۰ در پایهٔ ۱۰، برابر با ۳ است. چون ۱۰ × ۱۰ × ۱۰ = ۱۰۰۰ یا به بیان کلی‌تر اگر x = by باشد آنگاه لگاریتم x در پایهٔ b برابر با y خواهد بود و به زبان ریاضی آن را به صورت {\displaystyle \log _{b}(x)=y\,} نمایش می‌دهیم. مانند:  {\displaystyle \log _{10}(1000)=3\,.}

لگاریتم نخستین بار از سوی جان نپر در اوایل سده ۱۷ میلادی به عنوان وسیله‌ای برای آسان تر کردن محاسبات، معرفی شد؛ که به سرعت از سوی دانشمندان و مهندسان پذیرفته شد و برای آسان‌تر کردن و سریع‌تر کردن محاسبه جدول‌های لگاریتم اعشاری و خطکش‌های لغزنده ایجاد شدند و مورد استفاده قرار گرفتند. تمامی این ابزارها بر پایهٔ این مفهوم که «لگاریتم حاصل ضرب برابر است با مجموع لگاریتم‌ها»، ساخته شده بودند:

 {\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y).\,}
 {\displaystyle \log _{2}(32)=\log _{2}(4)+\log _{2}(8).\,}

مفهوم امروزی لگاریتم از تلاش‌های لئونارد اویلر در قرن ۱۸ گرفته شده است؛ او توانست مفهوم لگاریتم را با مفهوم تابع نمایی پیوند دهد.

لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را لگاریتم اعشاری می‌نامند که کاربرد بسیار زیادی در مهندسی دارد. لگاریتم در مبنای ثابت e یا عدد نپر ≈ ۲٫۷۱۸ را لگاریتم طبیعی می‌نامند. این لگاریتم در ریاضیات محض بویژه حساب دیفرانسیل و انتگرال بسیار کاربرد دارد. لگاریتم دو دویی نیز در مبنای ۲ نوشته می‌شود و کاربرد زیادی در علوم رایانه دارد.

به کمک مقیاس لگاریتمی، می‌توان اندازه‌های بسیار بزرگ را در ابعاد بسیار کوچکتری نشان داد برای نمونه دسی‌بل یکایی لگاریتمی است که برای نشان دادن فشار صدا و نسبت ولتاژ کاربرد دارد. در شیمی نیز پ هاش که معیاری برای نشان دان میزان اسیدی بودن مایعات است در مقیاس لگاریتمی بیان می‌شود. همچنین لگاریتم در نظریهٔ پیچیدگی محاسباتی و در برخی شکل‌های هندسی مانند برخال‌ها کاربرد دارد. از دیگر کاربردهای آن می‌توان به فاصله در موسیقی و رابطه‌های شمارش اعداد اول اشاره کردهمچنین در محاسبه زمان اجرای الگوریتم‌های برنامه‌های کامپیوتری استفاده می‌شود.

تابع توان وارون تابع لگاریتم است و لگاریتم مختلط، تابع وارون تابع نمایی به کار رفته در اعداد مختلط است. لگاریتم گسسته نیز در رمزنگاری کلید عمومی استفاده می‌شود.

انگیزهٔ اولیه و تعریف

انگیزهٔ ساخت لگاریتم، داشتن وارون تابع توان بوده‌است. برای نمونه، توان سوم ۲، ۸ است چون ۸ = ۲ × ۲ × ۲ = ۲۳ پس لگاریتم ۸ در پایهٔ ۲، ۳ می‌شود.

به توان رساندن

توان سوم عددی مانند b برابر است با ۳ بار ضرب b در خودش. حال اگر b به توان یک عدد طبیعی مانند n برسد به معنی n بار ضرب کردن b در خودش است که به صورت زیر نمایش می‌دهیم

 {\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times b\times \cdots \times b} _{n{\text{ factors}}}.}

در صورتی که n عدد طبیعی نباشد، آنگاه bn جواب دیگری خواهد داشت. مانند ۱- که b برابر معکوس b است.

تعریف

لگاریتم عددی مانند y در پایهٔ b عبارت است از یافتن عددی که اگر b به توان آن عدد برسد برابر با y شود. به عبارت دیگر جواب x معادلهٔ زیر برابر با لگاریتم y در پایهٔ b خواهد بود.

 {\displaystyle b^{x}=y.\,}

پایهٔ b باید یک عدد حقیقی مثبت و نامساوی ۱ باشد و y نیز باید یک عدد مثبت باشد.

{\displaystyle b^{x}=y.\,}

چند نمونه

نمونهٔ یکم

برای نمونه ۴ = (۱۶) log۲ چون ۱۶ = ۲ × ۲ × ۲ × ۲ = ۲۴

نمونهٔ دوم

برای توان‌های منفی نیز لگاریتم معتبر است مانند:

 {\displaystyle \log _{2}\!\left({\frac {1}{2}}\right)=-1,\,}

چون

 {\displaystyle 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.}
نمونهٔ سوم

(۱۵۰) log۱۰ تقریباً برابر است با ۲٫۱۷۶ عددی میان ۲ و ۳ چون ۱۵۰ خود عددی است میان ۱۰۰ = ۱۰۲ و ۱۰۰۰ = ۱۰۳ همچنین در هر پایه‌ای  {\displaystyle \log _{b}(b)=1} و  {\displaystyle \log _{b}(1)=0} چون به ترتیب:  {\displaystyle b^{1}=b} و  {\displaystyle b^{0}=1} است.

قوانین لگاریتم

نوشتار اصلی: فهرست اتحادهای لگاریتمی

رابطه‌های مختلفی به عنوان قوانین لگاریتم وجود دارند که می‌توانند میان فرمول‌های لگاریتمی رابطه برقرار کنند.

ضرب، تقسیم، توان، ریشه

لگاریتم حاصل ضرب چند عدد برابر است با مجموع لگاریتم‌های تک تک آن عددها. لگاریتم نسبت دو عدد (تقسیم) برابر است با تفاضل لگاریتم آن دو عدد. لگاریتم توان p ام یک عدد برابر است با p برابر لگاریتم آن عدد. لگاریتم ریشهٔ p ام یک عدد برابر است با لگاریتم آن عدد تقسیم بر p. جدول زیر قوانین لگاریتم را همراه با یک نمونه نشان داده‌است:

رابطه
ضرب {\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\,} {\displaystyle \log _{3}(243)=\log _{3}(9\times 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5\,}
تقسیم {\displaystyle \log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)\,} {\displaystyle \log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4}
توان {\displaystyle \log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)\,} {\displaystyle \log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6\,}
ریشه  {\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}\,} {\displaystyle \log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}

 

تغییر پایه

می‌توان {\displaystyle \log _{b}(x)} را به صورت غیر مستقیم با گرفتن لگاریتم x و b در یک پایهٔ دلخواه مانند k بدست آورد، به این ترتیب که:

 {\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.\,}

بیشتر ماشین حساب‌هایی که در دسترس اند لگاریتم را تنها در مبنای ۱۰ و عدد نپر محاسبه می‌کنند و لگاریتم در پایه‌های دیگر را به کمک رابطهٔ بالا محاسبه می‌کنند:

{\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.\,}

همچنین اگر عددی مانند x و مقدار لگاریتم آن را در یک مبنای نامشخص b داشته باشیم{\displaystyle \log _{b}(x)} حال می‌توان مبنای نامشخص b را به ترتیب زیر محاسبه کرد:

{\displaystyle b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.}

پایه‌های ویژه

پایه‌های ویژهٔ لگاریتم عبارتند از ۱۰، ۲ و عدد e (عدد گنگی تقریباً برابر با ۲٫۷۱۸۲۸) در آنالیز ریاضی لگاریتم در پایهٔ عدد e بسیار کاربرد دارد، لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را می‌توان بوسیلهٔ ماشین حساب‌های دستی که در اختیار است به آسانی محاسبه کرد:

{\displaystyle \log _{10}(10x)=\log _{10}(10)+\log _{10}(x)=1+\log _{10}(x).\ }

لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را می‌توان به آسانی با شمردن تعداد رقم‌های یک عدد بدست آورد. برای نمونه (۱۴۳۰) log۱۰ تقریباً برابر است با ۳٫۱۵ چون ۱۴۳۰ چهار رقم دارد پس لگاریتم آن در پایهٔ ۱۰ باید عددی میان ۳ و ۴ باشد. لگاریتم در پایهٔ ۲ در علوم رایانه مورد استفاده قرار می‌گیرد چون در آن از دستگاه اعداد دودویی استفاده می‌شود.

جدولی که در ادامه قرار داده شده‌است علامت‌هایی که برای نشان دادن تابع لگاریتم کاربرد دارند و جایی که هر نوع لگاریتم مورد استفاده قرار می‌گیرد را نشان داده‌است. در بسیاری موارد اگر بتوان از روی نوشته تشخیص داد تنها از نماد لگاریتم استفاده می‌کنند و از نوشتن پایهٔ آن خودداری می‌کنند. در جدول زیر نمادی ستون «نماد ISO» مربوط به پیشنهادی است که از سوی سازمان بین‌المللی استانداردسازی داده شده‌است. (ISO ۳۱–۱۱)

پایهٔ b نام گونهٔ لگاریتم ISO نماد در دیگر نمادها کاربرد
۲ لگاریتم دودویی lb(x) ld(x)، log(x)
(در علوم رایانه)، lg(x)
علوم رایانه، نظریهٔ اطلاعات
e لگاریتم طبیعی ln(x) log(x)
(در ریاضی و بسیاری از زبان‌های برنامه‌نویسی)
آنالیز ریاضی، فیزیک، شیمی
آمار، علم اقتصاد، و بعضی از زمینه‌های مهندسی
۱۰ لگاریتم اعشاری lg(x) log(x)
(در مهندسی، زیست‌شناسی، اخترشناسی),
در زمینه‌های گوناگون مهندسی (مانند دسی‌بل)،
تهیه جدول لگاریتم و ماشین حساب‌های مهندسی

 

قسمتی از تدریس استاد آریان حیدری در محصول لگاریتم:

اگر فیلم بالا را به صورت آنلاین نمی توانید نگاه کنید نرم افزار adobe flash را از اینجا دانلود و بر روی کامپیوترتان نصب نمایید تا از این به بعد فیلم ها را به صورت آنلاین تماشا کنید

و یا اگر می خواهید این فیلم آموزشی را دانلود کنید و همیشه آن را بر روی کامپیوترتان داشته باشید اینجا کلیک نمایید.

 

برای تسلط بیشتر روی مبحث لگاریتـم به شما عزیزان فیلم آموزشی زیر را توصیه می کنیم:

 

 

 

ترکیب توابع

ترکیب توابع

در ریاضیات، ترکیب تابع یک نگاشت نقطه به نقطه از یک تابع به تابعی دیگر است برای تولید تابعی سوم. برای مثال دو تابع f : XY و تابع g : YZ می توانند ترکیب شوند و حاصل تابعی خواهد بود که مقدار x در X را به مقدار g(f(x)) در Z نگاشت می کند. به طور شهودی، اگر z حاصل تابع g از y باشد و y حاصل تابع f از x باشد، بنابراین z حاصل تابعی از x است.

تابع حاصل که به صورت g ∘ f : XZ نماد می شود -که در بسیاری از منابع شامل این مقاله به صورت g ∘ f : XY نیز نوشته می شود- برای تمام xهای عضو X به صورت (g ∘ f )(x) = g(f(x)) تعریف می شود. نماد g ∘ f به صورت های “g در دایره g“، “f دور f“، “ترکیب g با g“، “f بعد از g“، “f به دنبال f” و “g ی f” و “g اُ f“نیز خوانده می شود.
مشتق ترکیب توابع مشتق پذیر از طریق قاعده زنجیره ای بدست می آید. مشتق های مراتب بالاتر از چنین توابعی از رابطه ی فادی برونو به دست می آیند.

خواص

  • شرکت‌پذیری

ترکیب تابع همیشه شرکت پذیر است. به این معنا که اگر g، f و h سه تابع با دامنه و برد مناسب باشند، در اینصورت f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h، که در اینجا پرانتز به این معناست که عمل ترکیب ابتدا بر روی دو تابع داخل پرانتز صورت می گیرد. بنابراین چون محل قرارگیری پرانتزها در حاصل نهایی ترکیب تاثیری ندارد، می توان آنها را بدون پیش آمد هیچ ابهامی حذف کرد.

  • خاصیت جابه‌جایی

گفته می شود دو تابع f و g با یکدیگر خاصیت جابه‌جایی دارند اگر g ∘ f = f ∘ g. در کل، ترکیب توابع تعویض پذیر نخواهند بود. تعویض پذیری یک خاصیت ویژه است که توابع مخصوصی دارای آن می باشند و در موقعیت های خاص اتفاق می افتد. برای مثال، |x| + 3 = |x + 3| فقط زمانی صادق است که x ≥ ۰ .

مثال

به عنوان مثال فرض کنید ارتفاع یک هواپیما در زمان t توسط تابع h(t) تعیین می شود، و تراکم اکسیژن درون هواپیما در ارتفاع x توسط تابع c(x) تعیین می شود. بنابراین تابع ((ch)(t) میزان تراکم اکسیژن درون هواپیما در زمان t را تعریف می کند.

به توان رسیدن توابع

تابع مکرر
اگر Y \subseteq X ، تابعf\colon X\rightarrow Y می تواند با خودش ترکیب شود. این ترکیب در بعضی مواقع با f 2 نشان داده می شود. بنابراین:

(f\circ f)(x)=f(f(x))=f^2(x)
(f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^3(x)

ترکیب بیش از یک بار یک تابع با خودش، تابع مکرر نامیده می شود.

خواص ترکیب تابع:

  • f\circ f^n=f^n\circ f=f^{n+1} برای n های طبیعی
  • بنابر تعریف: f^0=id_{D(f)} (تابع همانی در دامنه ی f)
  • اگر تابعf\colon X\rightarrow X، تابع وارون داشته باشد، توان های منفی تابع f^{-k}\,)} (k>0)، به صورت توان تابع وارونf تعریف می شوند.

نکته: اگر تابع f مقادیر خود را در یک حلقه بگیرد (به خصوص برای f های حقیقی یا مختلط)، ممکن است اشتباه پیش آید، چرا که fn به معنای ضرب n بار f در خودش نیز می باشد. (مثال f ۲(x) = f(x) · f(x) ) برای توابع مثلثاتی، معمولا دومی مد نطر است (حداقل برای توان های مثبت) . برای مثال در مثلثات، نماد اندیس بالایی وقتی برای توابع مثلثاتی به کار می رود به معنای به توان رسیدن معمولی است، مثلا: sin2(x) = sin(x) · sin(x). در عین حال برای توان های منفی (به خصوص −۱) معمولا به وارون تابع اشاره می کند. مثلا: tan−۱ = arctan (≠ ۱/tan).

در بعضی مواقع، یک عبارت برای f از g(x) = f r(x) می توان به دست آورد اگر مقادیر r غیر صحیح باشند. این مضمون مکرر کسری نام دارد. برای مثال مکرر تابع f تابعی مانند g است که در رابطه ی g(g(x)) = f(x) صدق کند. در مثالی دیگر، اگر f تابع جانشین باشد، fr(x) = x + r .

این ایده می تواند به این صورت عمومی سازی شود که شمارش مکررسازی یک پارامتر مداوم شود. این سیستم یک جریان نام دارد، که توسط راه حل های معادله ی شرودر مشخص می شود. توابع مکرر و جریان ها به طور معمول در مطالعه ی فراکتال ها و سیستم های دینامیک ظاهر می شوند.

تکوارهای ترکیب

تکوارهای دگرگونی
فرض کنیم f: XX, g: XX دو تابع با دامنه و برد برابر باشند. می توان رشته های بلند و بالقوه پیچیده ای از ترکیب این دو تابع تولید کرد، مثل ffgf. چنین رشته هایی ساختمان جبری یک تکوار را دارا می باشند، و یک تکوار دگرگونی نامیده می شوند. در کل، تکوارهای ترکیب، می توانند دارای ساختمان های بسیار پیچیده باشند. یک مثال خاص در این مورد منحنی د رام است. مجموعه ی تمام توابع f: XX، یک نیم گروه کامل دگرگونی بر روی X نامیده می شود.

اگر توابع دوسو باشند، مجموعه ی تمام ترکیب های ممکن از این توابع، تشکیل یک گروه دگرگونی می دهند؛ و گفته می شود که این گروه از این توابع به دست آمده است.

مجموعه ی تمام توابع دوسوی f: XX، یک گروه نسبت به عملگر ترکیب می سازد که گروه متقارن یا گاهی گروه ترکیب نامیده می شود.

نماد گذاری های جایگزین

  • بسیاری از ریاضی دانان نماد ترکیب را حذف می کنند، و به جای gf، می نویسند gf.
  • در اواسط قرن بیستم، بعضی از ریاضی دانان تصمیم گرفتند که نوشتن “gf” به این معنا که ابتدا f اعمال شود و سپس g، زیادی گیج کننده است. آنها “xf” را به جای “f(x)” و “(xf )g” را به جای “g(f(x))” می نوشتند. این کار می تواند در بعضی موارد طبیعی تر و ساده تر از نوشتن تابع در سمت چپ به نظر برسد – مثلا در جبر خطی، وقتی x یک بردار خطی باشد، و f و g دو ماتریس باشند و ترکیب آنها به معنای ضرب ماتریسی باشد. این نمادگذاری جایگزین، نمادگذاری پسوند نام دارد. ترتیب در اینجا اهمیت دارد زیرا ضرب ماتریس ها جا به جایی پذیر نیست.
  • ریاضی دانانی که از نمادگذاری پسوند استفاده می کنند، ممکن است از عبارت “fg” به معنای “اول f را اعمال کن و سپس g” استفاده کنند که باعث به وجود آمدن ابهام میشود. دانشمندان علوم کامپیوتر برای رفع این ابهام از عبارت “f;g” بهره می گیرند.

عملگر ترکیب

عملگر ترکیب
با استفاده از تابع g، عملگر ترکیب Cg به صورت عملگری تعریف می شود که توابع را به هم مربوط می کند.

C_g f=f \circ g.

عملگرهای ترکیب در رشته ی نظریه عملگرها مطالعه می شوند.

عمومی سازی ها

ساختمان ترکیب تابع در نظریه رده ها و با مفهوم مورفیزم، به عنوان جایگزین رده ای-تئوری توابع، اصل گذاری شده است.
ترکیب برای توابع چند متغیره نیز امکان پذیر است. تابع به دست آمده هنگامی که g جایگزین متغیر xi از تابع f می شود، یک ترکیب f و g نامیده می شود و به صورت f |xi = g نمادگذاری می شود.

f|_{x_i=g}=f (x_1, \ldots, x_{i-1}, g(x_1, x_2, \ldots, x_n), x_{i+1}, \ldots, x_n).

هنگامی که g یک ثابت ساده ی b باشد، ترکیب به صورت یک ارزه (ی ناقص) در می آید، که نتیجه ی آن به عنوان یک محدودیت یا یک عامل کمکی شناخته شده است.

f|_{x_i=b}=f (x_1, \ldots, x_{i-1}, b, x_{i+1}, \ldots, x_n).

 

قسمتی از تدریس استاد آریان حیدری در محصول تابع:

اگر فیلم بالا را به صورت آنلاین نمی توانید نگاه کنید نرم افزار adobe flash را از اینجا دانلود و بر روی کامپیوترتان نصب نمایید تا از این به بعد فیلم ها را به صورت آنلاین تماشا کنید

و یا اگر می خواهید این فیلم آموزشی را دانلود کنید و همیشه آن را بر روی کامپیوترتان داشته باشید اینجا کلیک نمایید.

 

برای تسلط بیشتر روی مبحث ترکیب توابع به شما عزیزان فیلم های آموزشی زیر را توصیه می کنیم:

 

 

 

 

قواعد مشتق گیری

قواعد مشتق گیری

قواعد اولیهٔ مشتق گیری

برای هر تابع دلخواه f و g و هر عددحقیقی a داریم:

  • قاعدهٔ ضرب ثابت
{\displaystyle (af)'=af'\,}
  • قاعده جمع و تفریق
  {\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,}
  {\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}

قاعده ضرب

اگر برای هر دو تابع دلخواه f و g تعریف شود h(x) = f(x) g(x)، برای مشتق تابع h قاعدهٔ زیر، که به قاعده ضرب مشهور است، تعریف می‌شود:

 {\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\,}

قاعده زنجیری

مشتق تابع h که برای هر f و g دلخواهی به صورت h(x) = f(g(x)) تعریف می‌شود، به شکل زیر است:

  {\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).\,}

این قاعده مشهور به قاعده زنجیری یا قاعده مرکب است.

مشتق توابع وارون

اگر تابع g به صورت تابع وارون تابع f تعریف شود، قاعدهٔ زیر درست است:

  {\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}

قاعده توان

این قاعده برای هر n غیر صحیح نیز تعمیم می‌یابد. به صورتی که برای هر n عضو اعداد حقیقی این قاعده پابرجاست.

قاعده خارج قسمت

اگر تابع h به صورت خارج قسمت تقسیم دو تابع f و g برهم تعریف شود، برای مشتق آن داریم:
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }

دقت شود که مقدار تابع g نباید مساوی ۰ شود.

مشتق توابع نمایی و لگاریتمی

این قاعده برای توابع نمایی به صورت زیر برقرار است:

  {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={c^{ax}\ln c\cdot a},\qquad c>0}

دقت شود که c لزوماً نمی‌بایست که بزرگ‌تر از ۰ باشد. اما اگر مقدار c کمتر از ۰ باشد، مشتق این تابع یک عدد مختلط می‌شود.

مشتق‌های دیگر برای توابع مشهور توابع لگاریتمی و توابع نمایی به صورت زیر است:

  {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{x}\right)=e^{x}}
  {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}
  {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0}
  {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x}}
  {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}

مشتق توابع مثلثاتی

تقریباً مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است:

  {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,} {\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
  {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}   {\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
{\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,}   {\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}
  {\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,}   {\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
  {\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,} {\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
  {\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)\,} {\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}\,}

مشتق توابع هذلولوی

مشتق یکسری از توابع هذلولوی به صورت زیر می‌باشد:

  {\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} {\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
  {\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} {\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
  {\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}}   {\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}
{\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x} {\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x} {\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}
  {\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x} {\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'=-{1 \over 1-x^{2}}}

 

قسمتی از تدریس استاد آریان حیدری در محصول مشتق ۲:

اگر فیلم بالا را به صورت آنلاین نمی توانید نگاه کنید نرم افزار adobe flash را از اینجا دانلود و بر روی کامپیوترتان نصب نمایید تا از این به بعد فیلم ها را به صورت آنلاین تماشا کنید

و یا اگر می خواهید این فیلم آموزشی را دانلود کنید و همیشه آن را بر روی کامپیوترتان داشته باشید اینجا کلیک نمایید.

برای تسلط بیشتر روی مبحث مشتق گیری به شما عزیزان فیلم های آموزشی زیر را توصیه می کنیم:

 

shop giày nữthời trang f5Responsive WordPress Themenha cap 4 nong thongiay cao gotgiay nu 2015mau biet thu deptoc dephouse beautifulgiay the thao nugiay luoi nutạp chí phụ nữhardware resourcesshop giày lườithời trang nam hàn quốcgiày hàn quốcgiày nam 2015shop giày onlineáo sơ mi hàn quốcf5 fashionshop thời trang nam nữdiễn đàn người tiêu dùngdiễn đàn thời trang

در سبد خرید شما هیچ محصولی وجود ندارد
به ما امتیاز دهید: