۰۲۱-۲۲۶۹۱۰۱۰ مرکز مشاوره پرواز / پشتیبانی فروشگاه اینترنتی: ۰۹۱۲۸۵۰۱۱۲۵
انتخاب صفحه

قواعد اولیهٔ مشتق گیری

برای هر تابع دلخواه f و g و هر عددحقیقی a داریم:

  • قاعدهٔ ضرب ثابت
{\displaystyle (af)'=af'\,}
  • قاعده جمع و تفریق
  {\displaystyle (f+g)'=f'+g'\,}
  {\displaystyle (f-g)'=f'-g'.\,}

قاعده ضرب

اگر برای هر دو تابع دلخواه f و g تعریف شود h(x) = f(x) g(x)، برای مشتق تابع h قاعدهٔ زیر، که به قاعده ضرب مشهور است، تعریف می‌شود:

 {\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\,}

قاعده زنجیری

مشتق تابع h که برای هر f و g دلخواهی به صورت h(x) = f(g(x)) تعریف می‌شود، به شکل زیر است:

  {\displaystyle h'(x)=f'(g(x))g'(x).\,}

این قاعده مشهور به قاعده زنجیری یا قاعده مرکب است.

مشتق توابع وارون

اگر تابع g به صورت تابع وارون تابع f تعریف شود، قاعدهٔ زیر درست است:

  {\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}

قاعده توان

این قاعده برای هر n غیر صحیح نیز تعمیم می‌یابد. به صورتی که برای هر n عضو اعداد حقیقی این قاعده پابرجاست.

قاعده خارج قسمت

اگر تابع h به صورت خارج قسمت تقسیم دو تابع f و g برهم تعریف شود، برای مشتق آن داریم:
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }

دقت شود که مقدار تابع g نباید مساوی ۰ شود.

مشتق توابع نمایی و لگاریتمی

این قاعده برای توابع نمایی به صورت زیر برقرار است:

  {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(c^{ax}\right)={c^{ax}\ln c\cdot a},\qquad c>0}

دقت شود که c لزوماً نمی‌بایست که بزرگ‌تر از ۰ باشد. اما اگر مقدار c کمتر از ۰ باشد، مشتق این تابع یک عدد مختلط می‌شود.

مشتق‌های دیگر برای توابع مشهور توابع لگاریتمی و توابع نمایی به صورت زیر است:

  {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(e^{x}\right)=e^{x}}
  {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\log _{c}x\right)={1 \over x\ln c},\qquad c>0,c\neq 1}
  {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln x\right)={1 \over x},\qquad x>0}
  {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\ln |x|\right)={1 \over x}}
  {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{x}\right)=x^{x}(1+\ln x).}

مشتق توابع مثلثاتی

تقریباً مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است:

  {\displaystyle (\sin x)'=\cos x\,}{\displaystyle (\arcsin x)'={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
  {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x\,}  {\displaystyle (\arccos x)'=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,}
{\displaystyle (\tan x)'=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}=1+\tan ^{2}x\,}  {\displaystyle (\arctan x)'={1 \over 1+x^{2}}\,}
  {\displaystyle (\sec x)'=\sec x\tan x\,}  {\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
  {\displaystyle (\csc x)'=-\csc x\cot x\,}{\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\,}
  {\displaystyle (\cot x)'=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}=-(1+\cot ^{2}x)\,}{\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{1 \over 1+x^{2}}\,}

مشتق توابع هذلولوی

مشتق یکسری از توابع هذلولوی به صورت زیر می‌باشد:

  {\displaystyle (\sinh x)'=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}{\displaystyle (\operatorname {arsinh} \,x)'={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
  {\displaystyle (\cosh x)'=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}{\displaystyle (\operatorname {arcosh} \,x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
  {\displaystyle (\tanh x)'={\operatorname {sech} ^{2}\,x}}  {\displaystyle (\operatorname {artanh} \,x)'={1 \over 1-x^{2}}}
{\displaystyle (\operatorname {sech} \,x)'=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}{\displaystyle (\operatorname {arsech} \,x)'=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\displaystyle (\operatorname {csch} \,x)'=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}{\displaystyle (\operatorname {arcsch} \,x)'=-{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}
  {\displaystyle (\operatorname {coth} \,x)'=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}{\displaystyle (\operatorname {arcoth} \,x)'=-{1 \over 1-x^{2}}}

 

قسمتی از تدریس استاد آریان حیدری در محصول مشتق ۲:

اگر فیلم بالا را به صورت آنلاین نمی توانید نگاه کنید نرم افزار adobe flash را از اینجا دانلود و بر روی کامپیوترتان نصب نمایید تا از این به بعد فیلم ها را به صورت آنلاین تماشا کنید

و یا اگر می خواهید این فیلم آموزشی را دانلود کنید و همیشه آن را بر روی کامپیوترتان داشته باشید اینجا کلیک نمایید.

برای تسلط بیشتر روی مبحث مشتق گیری به شما عزیزان فیلم های آموزشی زیر را توصیه می کنیم: